Sistema de ecuaciones cuadráticas

“SISTEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO”

·        Mixtas

Las ecuaciones de esta forma se resuelven descomponiendo en factores su primer término.

2x² + 3x = 0

X(2x + 3) = 0

X=0     ó    2x + 3 = 0

X1= 0   x2 = -3/2

·        Puras

Las ecuaciones de esta forma se resuelven despejando el valor de la incógnita y se resuelven directamente mediante la raíz cuadrada.

En todos los casos las ecuaciones de esta forma tienen dos soluciones.

3x² - 6075 = 0

3x²= 6075

x² = 6075   /   3

x² = 2025

x= ± Raíz 2025

x= ± 45

x1= 45  x2= -45

·        Utilizamos Fórmula General

En caso de que tengan los tres términos utilizaremos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

TOMADO DE APUNTES

Técnicas de solución de cuaciones lineales con una y dos variables

“TÉCNICAS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA VARIABLE”

·        MÉTODO FORMAL

Consiste en expresar cada uno de los pasos para resolver la ecuación y enunciar la razón por la que se hizo.

Se aplica propiedad de la suma, propiedad del elemento neutro, propiedad de la división, propiedad del elemento de identidad multiplicativo y simplificación.

6x – 5 = 15

6x – 5 +5 = 15 + 5

6x + 0= 20

6x  / 6 = 20  /  6

1 * x =  20  /  6

X= 20 / 6

X = 10/3

·        MÉTODO DE TRANSPOSICIÓN O MÉTODO SINTÉTICO        

Es posible hacer el mismos procedimiento, es decir determinar el valor de la literal ahorrando una cantidad significativa de pasos.

4x – 7 = 9

4x= 9 + 7

4x = 16

X = 16 / 4

X= 4

·        Método Gráfico

Para utilizar este método es necesario que la ecuación tenga la forma  mx + b= 0  , para asociarla a la función lineal                    f (x) = mx + b

En la función el valor de la literal x adquiere distintos e infinitos valores y para encontrar la solución de la ecuación, se deberá buscar un valor de x de manera que la función f(x)  sea igual a 0.

El valor de x que garantiza que f(x)=0 se llama raíz de la ecuación   y es la solución de la misma.

“SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES”

·        Método de sustitución

Tomamos cualquiera de las dos ecuaciones para despejar una de sus literales

El valor de la literal despejada se sustituye en la otra ecuación

Despejamos la incógnita en la nueva ecuación

Sustituimos el valor de la incógnita que encontramos en cualquiera de las ecuaciones originales para determinar el valor de la otra variable

X + 2y = 8

2x + y = 7

X= 8 – 2y

2 (8 – 2y) + y = 7

2 (8 – 2y) + y = 7

16 – 4y +y = 7

16 – 3y=7

16 – 7 = 3y

3y=9

Y= 9/3

Y = 3

X = 8 – 2y

X= 8 – 2(3)

X=2

·        Método de Igualación

Despejamos una de las literales en las dos ecuaciones del sistema

Se igualan los valores de la variable despejada, y se realizan las operaciones necesarias para encontrar el valor de la incógnita

Se sustituye el valor de la incógnita encontrada en cualquiera de los despejes del paso 1 y así se encuentra el valor de la variable

X + 2y = 8

2x + y = 7

X= 8 – 2y

X = 7 – y    /    2

8 – 2y =  7 – y    /    2

2 ( 8 – 2y ) = 7 - y

16 – 4y = 7 – y

16 – 7 = -y + 41

9 = 3y

Y = 3

X = 8 – 2y

X= 8 – 2(3)

X=2

·        Método de Eliminación

Buscamos los mismos coeficientes en alguna de las incógnita, uno deber ser positivo y el otro negativo

Se suman los miembros de las dos ecuaciones de manera que se elimine una de las incógnitas y se forme una nueva ecuación

Buscamos el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones y despejamos la literal que hace falta

Se sustituye el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones y despejamos la literal que hace falta

X + 2y = 8

2x + y = 7

-2 ( x + 2y = 8)

2x + y = 7

-2 ( x + 2y = 8)

2x + y = 7

-3y = -9

-3y = -9

Y = -9  /  -3

Y = 3

X + 2y = 8

X + 2(3) = 8

X + 6= 8

X = 8 – 6

X = 2

TOMADO DE APUNTES

Tabla "Propiedades de las igualdades"

“PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES”

NOMBRE	REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA	SIGNIFICADO EN LENGUAJE COLOQUIAL	EJEMPLO
Propiedad reflexiva	a=a	Todo número es igual a si mismo	a+b = a+b
Propiedad simétrica	entoncesSí a=b               b=a	Es posible intercambiar los miembros de una igualdad sin que se altere	entonces  Si 2+3=5                   5=2+3
Propiedad transitiva	entoncesSi a=b ^ b=c                 a=c	Si dos expresiones son iguales  a una tercera, entonces estas son iguales entre si	Si 1+3=4 ^ 4-(2)(2)      1+3=(2)(2)
Principio de sustitución	Sí a=b entonces ambas pueden ser utilizadas en cualquier proposición sin que el valor de verdad de esta cambie	Si dos expresiones son iguales estas pueden ser sustituidas en cualquier proposición sin que el valor de verdad cambie	Sí 4+1=3+1+1  Es lo mismo escribir 4+1=5 que 3+1+1=5
Otras propiedades que nos permiten resolver ecuaciones
Propiedad de la suma	entoncesSí a=b                 a+c=b+c	Podemos sumar el mismo número a los miembros de una igualdad y esta no se altera	Sí 5+1=4+2            5+1+4=4+2+4 10=10
Propiedad de la resta	entoncesSí a=b                a-c=b-c	Podemos restar el mismo número a los miembros de una igualdad y esta no se altera	SÍ 5+1=4+2          5+1 -4= 4+2-4 2=2
Propiedad de la multiplicación	entoncesSí a=b                 ac=bc	Podemos multiplicar el mismo número a los miembros de una igualdad y esta no se altera	Sí 5+1 = 4+2         (5+1)3 =(4+2)3 18=18
Propiedad de la división	Sí a=b              a/c = b/c Siempre y cuando   c ≠ 0	Podemos dividir el mismo número a los miembros de una igualdad y esta no se altera	Sí 5+1=4+2         (5+1)/3 =(4+2)/3 2=2

TOMADO DE APUNTES